Cho
A
là ma trận vuông cấp n thỏa mãn
2 A A I  
n
. Chứng minh rằng
A
có ma trận
nghịch đảo và tìm ma trận nghịch đảo của
A .

Ta có ma trận \( A \) là ma trận vuông cấp \( n \) và thỏa mãn:

\[
2A^2 - A = I_n
\]

Trong đó \( I_n \) là ma trận đơn vị cấp \( n \).

**Bước 1: Kiểm tra \( A \) có khả nghịch không**

Để chứng minh ma trận \( A \) có ma trận nghịch đảo, ta cần chứng minh rằng \( A \) là khả nghịch, tức là tồn tại ma trận \( B \) sao cho:

\[
A B = B A = I_n
\]

Dựa vào phương trình đã cho \( 2A^2 - A = I_n \), ta biến đổi như sau:

\[
A(2A - I_n) = I_n
\]

Từ đây, ta thấy rằng ma trận \( A \) nhân với ma trận \( (2A - I_n) \) cho kết quả là ma trận đơn vị \( I_n \). Do đó, \( A \) là khả nghịch và ma trận nghịch đảo của \( A \) là \( A^{-1} = 2A - I_n \).

**Bước 2: Tìm ma trận nghịch đảo của \( A \)**

Từ phương trình:

\[
A(2A - I_n) = I_n
\]

Ta suy ra ma trận nghịch đảo của \( A \) là:

\[
A^{-1} = 2A - I_n
\]

**Kết luận:**
- Ma trận \( A \) có nghịch đảo.
- Ma trận nghịch đảo của \( A \) là \( A^{-1} = 2A - I_n \).

---

Có cần giải thích chi tiết hơn không, hoặc bạn có câu hỏi gì thêm không? 

### 5 Câu hỏi liên quan:
1. Làm thế nào để kiểm tra một ma trận có khả nghịch hay không?
2. Nếu một ma trận không khả nghịch, điều gì xảy ra với phương trình \( A^{-1} \)?
3. Có bao nhiêu cách khác nhau để tìm ma trận nghịch đảo của một ma trận?
4. Định lý nào trong đại số tuyến tính có thể áp dụng để chứng minh một ma trận khả nghịch?
5. Điều gì xảy ra nếu thay đổi các hệ số trong phương trình \( 2A^2 - A = I_n \)?

### Mẹo:
Khi làm việc với ma trận, đặc biệt là kiểm tra tính khả nghịch, bạn có thể sử dụng định thức của ma trận: nếu định thức khác 0, ma trận khả nghịch.

Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn 2A^2 - A = I_n. Chứng minh rằng A có ma trận nghịch đảo và tìm ma trận nghịch đảo của A.

Explore how to prove the invertibility of a square matrix A that satisfies the equation 2A^2 - A = I_n, and learn the step-by-step process to find its inverse. This problem covers key concepts in linear algebra, including matrix inversion and the invertible matrix theorem. Ideal for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation